Kansen en verzamelingen - Kansrekening - ΩJr. Wiskunde en Bijles
Deze informatie leeft op een webpagina op hetvolgende webadres: 'https://omegajunior.globat.com/wiskunde/'.
a) Hoe groot is de kans dat een getal zowel deelbaar is door 3 als door 5?
b) Hoe groot is de kans dat een getal zowel deelbaar is door 2 als door 4?
Er is iets bijzonders aan de hand: deze vragen kunnen niet op dezelfde wijze worden beantwoord. Dit artikel legt uit waarom, en wat de juiste berekening moet zijn.
Neem bijvoorbeeld de getallenreeks N[1,120] (alle ongedeelde getallen van 1 tot en met 120).
De tafel van 2 komt hier 6 keer in voor. Dat betekent dat er 60 getallen voorkomen die deelbaar zijn door 2.
De tafel van 3 komt hier 4 keer in voor. Dat betekent dat er 40 getallen voorkomen die deelbaar zijn door 3.
De tafel van 4 komt hier 3 keer in voor. Dat betekent dat er 30 getallen voorkomen die deelbaar zijn door 4.
De tafel van 5 komt hier 2,4 keer in voor. Dat betekent dat er 24 getallen voorkomen die deelbaar zijn door 5.
De kans dat een getal in deze reeks deelbaar is door 2, is te omschrijven als P(G=2). De omvang van deze kans is (het aantal getallen dat deelbaar is door 2) gedeeld door het totale aantal getallen. De berekening gaat alsvolgt:
P(G=2) = (60/120) = (1/2), oftewel 50%.
Deze kans is niet samengesteld oftewel enkelvoudig. Er wordt maar 1 voorwaarde gesteld (deelbaarheid door 2). De andere enkelvoudige kansen worden soortgelijk uitgerekend:
P(G=3) = (40/120) = (4/12) = (1/3), oftewel 33,3%;
P(G=4) = (30/120) = (3/12) = (1/4), oftewel 25%;
P(G=5) = (24/120) = (6/30) = (1/5), oftewel 20%.
Bij bovengenoemde samengestelde kansen worden de afzonderlijke enkelvoudige kansen met elkaar vermenigvuldigd, op de volgende manier.
a) De kans dat een getal zowel deelbaar is door 3 als door 5 wordt geschreven als:
P(G=3) * P(G=5) = (1/3) * (1/5) = (1/15), oftewel 6,7%.
Wat is hiervan de betekenis? Het zou kunnen betekenen dat elk 15e getal in de tafel van 3 ook voorkomt in de tafel van 5. Is dat zo?
Tafel van 3 = N[1,60] s.3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 52, 54, 57, 60
Tafel van 5 = N[1,60] s.5 = 5, 10 ,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
Hierin zitten duidelijk 4 overlappingen, namelijk de getallen 15, 30, 45 en 60. Dit betekent dat elk 5e getal in de tafel van 3 ook voorkomt in de tafel van 5. De conclusie is dus niet juist. Wel betekent het, dat elk 15 getal in een reeks van natuurlijke getallen deelbaar is door zowel 3 als 5.
We gaan hetzelfde proberen voor de kans dat een getal zowel deelbaar is door 2 als door 4.
b) P(G=2) * P(G=4) = (1/2) * (1/4) = (1/8), oftewel 12,5%. (Let op, dit is fout!)
Dit zou betekenen dat elk 8e getal in een reeks van natuurlijke getallen deelbaar is door zowel 2 als 4. Maar het gezond verstand zegt dat elk 4e getal al aan deze voorwaarde voldoet. Wat is er aan de hand? Bekijken we de tafels van 2 en 4:
Tafel van 2 = N[1,40] s.2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40
Tafel van 4 = N[1,40] s.4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
Hier valt een kenmerk op dat niet wordt gedeeld door de tafels van 3 en 5, namelijk dat de gehele tafel van 4 ook voorkomt in de tafel van 2. De tafel van 2 overlapt die van 4, oftewel de tafel van 4 is in zijn geheel een deelverzameling van de tafel van 2. Dit is niet het geval bij de tafels van 3 en 5. De tafel van 5 heeft maar een paar overeenkomstige getallen met de tafel van 3.
Tevens valt het op dat het grondgetal van de tafel van 4, het getal 4, wel voorkomt in de tafel van 2,
terwijl het grondgetal van de tafel van 5, het getal 5, niet voorkomt in de tafel van 3.
De twee bovenstaande kenmerken (overlapping en het gedeelde grondgetal) hangen met elkaar samen: elke tafel met een grondgetal dat voorkomt in een 2e tafel wordt door die 2e tafel geheel omvat. (Dit is trouwens niet omkeerbaar: de tafel van 4 put de tafel van 2 niet uit; d.w.z. de tafel van 2 bevat meer elementen dan de tafel van 4.)
Door deze kenmerken zal de berekening aangepast moeten worden. Omdat elk getal dat deelbaar is door 4, bij voorbaat ook deelbaar is door 2, maakt P(G=2) al deel uit van P(G=4). Deze twee enkelvoudige kansen mogen dus niet vermenigvuldigd worden!
De juiste berekening houdt op, op het moment dat P(G=4) berekend is. Dit hadden we al berekend voor we goed en wel aan de opgave begonnen, namelijk:
P(G=4) = (30 / 120) = (3 / 12) = (1/4), oftewel 25%.
De tafel van 2 komt hier 6 keer in voor. Dat betekent dat er 60 getallen voorkomen die deelbaar zijn door 2.
De tafel van 3 komt hier 4 keer in voor. Dat betekent dat er 40 getallen voorkomen die deelbaar zijn door 3.
De tafel van 4 komt hier 3 keer in voor. Dat betekent dat er 30 getallen voorkomen die deelbaar zijn door 4.
De tafel van 5 komt hier 2,4 keer in voor. Dat betekent dat er 24 getallen voorkomen die deelbaar zijn door 5.
De kans dat een getal in deze reeks deelbaar is door 2, is te omschrijven als P(G=2). De omvang van deze kans is (het aantal getallen dat deelbaar is door 2) gedeeld door het totale aantal getallen. De berekening gaat alsvolgt:
P(G=2) = (60/120) = (1/2), oftewel 50%.
Deze kans is niet samengesteld oftewel enkelvoudig. Er wordt maar 1 voorwaarde gesteld (deelbaarheid door 2). De andere enkelvoudige kansen worden soortgelijk uitgerekend:
P(G=3) = (40/120) = (4/12) = (1/3), oftewel 33,3%;
P(G=4) = (30/120) = (3/12) = (1/4), oftewel 25%;
P(G=5) = (24/120) = (6/30) = (1/5), oftewel 20%.
Bij bovengenoemde samengestelde kansen worden de afzonderlijke enkelvoudige kansen met elkaar vermenigvuldigd, op de volgende manier.
a) De kans dat een getal zowel deelbaar is door 3 als door 5 wordt geschreven als:
P(G=3) * P(G=5) = (1/3) * (1/5) = (1/15), oftewel 6,7%.
Wat is hiervan de betekenis? Het zou kunnen betekenen dat elk 15e getal in de tafel van 3 ook voorkomt in de tafel van 5. Is dat zo?
Tafel van 3 = N[1,60] s.3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 52, 54, 57, 60
Tafel van 5 = N[1,60] s.5 = 5, 10 ,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
Hierin zitten duidelijk 4 overlappingen, namelijk de getallen 15, 30, 45 en 60. Dit betekent dat elk 5e getal in de tafel van 3 ook voorkomt in de tafel van 5. De conclusie is dus niet juist. Wel betekent het, dat elk 15 getal in een reeks van natuurlijke getallen deelbaar is door zowel 3 als 5.
We gaan hetzelfde proberen voor de kans dat een getal zowel deelbaar is door 2 als door 4.
b) P(G=2) * P(G=4) = (1/2) * (1/4) = (1/8), oftewel 12,5%. (Let op, dit is fout!)
Dit zou betekenen dat elk 8e getal in een reeks van natuurlijke getallen deelbaar is door zowel 2 als 4. Maar het gezond verstand zegt dat elk 4e getal al aan deze voorwaarde voldoet. Wat is er aan de hand? Bekijken we de tafels van 2 en 4:
Tafel van 2 = N[1,40] s.2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40
Tafel van 4 = N[1,40] s.4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
Hier valt een kenmerk op dat niet wordt gedeeld door de tafels van 3 en 5, namelijk dat de gehele tafel van 4 ook voorkomt in de tafel van 2. De tafel van 2 overlapt die van 4, oftewel de tafel van 4 is in zijn geheel een deelverzameling van de tafel van 2. Dit is niet het geval bij de tafels van 3 en 5. De tafel van 5 heeft maar een paar overeenkomstige getallen met de tafel van 3.
Tevens valt het op dat het grondgetal van de tafel van 4, het getal 4, wel voorkomt in de tafel van 2,
terwijl het grondgetal van de tafel van 5, het getal 5, niet voorkomt in de tafel van 3.
De twee bovenstaande kenmerken (overlapping en het gedeelde grondgetal) hangen met elkaar samen: elke tafel met een grondgetal dat voorkomt in een 2e tafel wordt door die 2e tafel geheel omvat. (Dit is trouwens niet omkeerbaar: de tafel van 4 put de tafel van 2 niet uit; d.w.z. de tafel van 2 bevat meer elementen dan de tafel van 4.)
Door deze kenmerken zal de berekening aangepast moeten worden. Omdat elk getal dat deelbaar is door 4, bij voorbaat ook deelbaar is door 2, maakt P(G=2) al deel uit van P(G=4). Deze twee enkelvoudige kansen mogen dus niet vermenigvuldigd worden!
De juiste berekening houdt op, op het moment dat P(G=4) berekend is. Dit hadden we al berekend voor we goed en wel aan de opgave begonnen, namelijk:
P(G=4) = (30 / 120) = (3 / 12) = (1/4), oftewel 25%.