Bolinhoud afgeleid tot cirkelomtrek - ΩJr. Wiskunde en Bijles
Deze informatie leeft op een webpagina op hetvolgende webadres: 'https://omegajunior.globat.com/wiskunde/'.
Hoensbroek, 2009-02-25
Sinds 2001 ben ik, met tussenpozen, op zoek naar een bewijs voor mijn functie waarmee ik beweer dat de oppervlakte van een ellipsoïde kan worden berekend. Ik verwachtte die functie te kunnen bewijzen met behulp van integraalrekening. Het lijkt echter ook mogelijk de functie te bewijzen met differentiaalrekening.
Hieronder 2 differentiaalberekeningen: van bolinhoud naar boloppervlak, en dan van boloppervlak naar bolomtrek. Ditzelfde kunnen we later dan ook doen voor de ellipsoïde. En als de differentiaal klopt, dan is het wiskundig noodzakelijk dat de integraal ook klopt, en dat mijn oppervlaktefunctie ook klopt.
Maar eerst de differentialen voor de bol. Dit is als het goed is oud terrein op wiskundig gebied: de uitwerkingen worden zowel gepresenteerd voor bestudering door andere wiskundigen, als voor mijn eigen oefening.
Van bolinhoud naar boloppervlak, gerekend vanuit de straal van de cirkel
Uitgangspunten:
Bolinhoudsfunctie: v(d) = (πd³)/6 en dus v(r) = 8πr³/6
(waarbij v = volume, r = straal, en d = diameter = 2r)
Boloppervlaktefunctie: s(r) = 4πr²
(waarbij s = oppervlakte, en r = straal)
Differentievergelijking: v'(r) = lim(Δr→0) (v(r + Δr) - v(r))/Δr
Onze taak: bewijzen dat v'(r) = s(r).
(differentievergelijking)
v'(r) = lim(Δr→0) (v(r + Δr) - v(r))/Δr ↔
(bolinhoudsfunctie invullen in de plaats van v)
v'(r) = lim(Δr→0) (8π(r + Δr)³/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(3e macht expanderen)
v'(r) = lim(Δr→0) (8π(r + Δr)(r + Δr)(r + Δr)/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(3e macht ontbinden in factoren: merkwaardig product)
v'(r) = lim(Δr→0) (8π(r³ + 3rΔr² + 3r²Δr + Δr³)/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(doorberekenen: factoren vermenigvuldigen met 8π)
v'(r) = lim(Δr→0) ((8πr³ + 24πrΔr² + 24πr²Δr + 8πΔr³)/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(doorberekenen: factoren delen door 6)
v'(r) = lim(Δr→0) (8πr³/6 + 4πrΔr² + 4πr²Δr + 8πΔr³/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(doorberekenen: twee factoren vallen tegen elkaar weg)
v'(r) = lim(Δr→0) (4πrΔr² + 4πr²Δr + 8πΔr³/6)/Δr ↔
(doorberekenen: delen door Δr)
v'(r) = lim(Δr→0) 4πrΔr + 4πr² + 8πΔr²/6 ↔
(Δr daadwerkelijk op 0 stellen laat 2 factoren vervallen)
-------------------
v'(r) = 4πr² = s(r)
===================
Van boloppervlak naar cirkelomtrek, gerekend vanuit de straal van de cirkel
Uitgangspunten:
Boloppervlaktefunctie: s(r) = 4πr²
(waarbij s = oppervlakte, en r = straal)
Cirkelomtrekfunctie: c(r) = 2πr
(waarbij c = omtrek, en r = straal)
Differentievergelijking: s'(r) = lim(Δr→0) (s(r + Δr) - s(r))/Δr
Merk op dat we proberen te differentiëren vanuit de boloppervlakte. Echter, de cirkelomtrek is een differentiaal van de cirkeloppervlakte, en niet van de boloppervlakte. De boloppervlakte is 4x zo groot. Dat betekent dat als we de boloppervlakte differentiëren, de uitkomst ook 4 x zo groot moet zijn als de cirkelomtrek.
Onze taak: bewijzen dat s'(r) = 4c(r).
(differentievergelijking)
s'(r) = lim(Δr→0) (s(r + Δr) - s(r))/Δr ↔
(boloppervlaktefunctie invullen in de plaats van s)
s'(r) = lim(Δr→0) (4π(r + Δr)² - 4πr²)/Δr ↔
(2e macht expanderen)
s'(r) = lim(Δr→0) (4π(r + Δr)(r + Δr) - 4πr²)/Δr ↔
(2e macht ontbinden in factoren: merkwaardig product)
s'(r) = lim(Δr→0) (4π(r² + 2rΔr + Δr²) - 4πr²)/Δr ↔
(doorberekenen: factoren vermenigvuldigen met 4π)
s'(r) = lim(Δr→0) (4πr² + 8πrΔr + 4πΔr² - 4πr²)/Δr ↔
(doorberekenen: twee factoren vallen tegen elkaar weg)
s'(r) = lim(Δr→0) (8πrΔr + 4πΔr²)/Δr ↔
(doorberekenen: delen door Δr)
s'(r) = lim(Δr→0) 8πr + 4πΔr ↔
(Δr daadwerkelijk op 0 stellen laat 1 factor vervallen)
-------------------
s'(r) = 8πr = 4c(r)
===================
Uitgangspunten:
Bolinhoudsfunctie: v(d) = (πd³)/6 en dus v(r) = 8πr³/6
(waarbij v = volume, r = straal, en d = diameter = 2r)
Boloppervlaktefunctie: s(r) = 4πr²
(waarbij s = oppervlakte, en r = straal)
Differentievergelijking: v'(r) = lim(Δr→0) (v(r + Δr) - v(r))/Δr
Onze taak: bewijzen dat v'(r) = s(r).
(differentievergelijking)
v'(r) = lim(Δr→0) (v(r + Δr) - v(r))/Δr ↔
(bolinhoudsfunctie invullen in de plaats van v)
v'(r) = lim(Δr→0) (8π(r + Δr)³/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(3e macht expanderen)
v'(r) = lim(Δr→0) (8π(r + Δr)(r + Δr)(r + Δr)/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(3e macht ontbinden in factoren: merkwaardig product)
v'(r) = lim(Δr→0) (8π(r³ + 3rΔr² + 3r²Δr + Δr³)/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(doorberekenen: factoren vermenigvuldigen met 8π)
v'(r) = lim(Δr→0) ((8πr³ + 24πrΔr² + 24πr²Δr + 8πΔr³)/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(doorberekenen: factoren delen door 6)
v'(r) = lim(Δr→0) (8πr³/6 + 4πrΔr² + 4πr²Δr + 8πΔr³/6 - 8πr³/6)/Δr ↔
(doorberekenen: twee factoren vallen tegen elkaar weg)
v'(r) = lim(Δr→0) (4πrΔr² + 4πr²Δr + 8πΔr³/6)/Δr ↔
(doorberekenen: delen door Δr)
v'(r) = lim(Δr→0) 4πrΔr + 4πr² + 8πΔr²/6 ↔
(Δr daadwerkelijk op 0 stellen laat 2 factoren vervallen)
-------------------
v'(r) = 4πr² = s(r)
===================
Van boloppervlak naar cirkelomtrek, gerekend vanuit de straal van de cirkel
Uitgangspunten:
Boloppervlaktefunctie: s(r) = 4πr²
(waarbij s = oppervlakte, en r = straal)
Cirkelomtrekfunctie: c(r) = 2πr
(waarbij c = omtrek, en r = straal)
Differentievergelijking: s'(r) = lim(Δr→0) (s(r + Δr) - s(r))/Δr
Merk op dat we proberen te differentiëren vanuit de boloppervlakte. Echter, de cirkelomtrek is een differentiaal van de cirkeloppervlakte, en niet van de boloppervlakte. De boloppervlakte is 4x zo groot. Dat betekent dat als we de boloppervlakte differentiëren, de uitkomst ook 4 x zo groot moet zijn als de cirkelomtrek.
Onze taak: bewijzen dat s'(r) = 4c(r).
(differentievergelijking)
s'(r) = lim(Δr→0) (s(r + Δr) - s(r))/Δr ↔
(boloppervlaktefunctie invullen in de plaats van s)
s'(r) = lim(Δr→0) (4π(r + Δr)² - 4πr²)/Δr ↔
(2e macht expanderen)
s'(r) = lim(Δr→0) (4π(r + Δr)(r + Δr) - 4πr²)/Δr ↔
(2e macht ontbinden in factoren: merkwaardig product)
s'(r) = lim(Δr→0) (4π(r² + 2rΔr + Δr²) - 4πr²)/Δr ↔
(doorberekenen: factoren vermenigvuldigen met 4π)
s'(r) = lim(Δr→0) (4πr² + 8πrΔr + 4πΔr² - 4πr²)/Δr ↔
(doorberekenen: twee factoren vallen tegen elkaar weg)
s'(r) = lim(Δr→0) (8πrΔr + 4πΔr²)/Δr ↔
(doorberekenen: delen door Δr)
s'(r) = lim(Δr→0) 8πr + 4πΔr ↔
(Δr daadwerkelijk op 0 stellen laat 1 factor vervallen)
-------------------
s'(r) = 8πr = 4c(r)
===================
