Sorteringen tellen - Kansberekening - ΩJr. Wiskunde en Bijles
Deze informatie leeft op een webpagina op hetvolgende webadres: 'https://omegajunior.globat.com/wiskunde/'.
"Op hoeveel manieren kun je dit sorteren?"
Je bent dat soort vragen geheid al eens tegengekomen. Je gebruikt het bijvoorbeeld in wiskunde a, bij kansberekening.
En je krijgt daar bijvoorbeeld het volgende geleerd:
1 ding kun je op 1 manier sorteren;
2 dingen kun je op 2 * 1 = 2 manieren sorteren;
3 dingen kun je op 3 * 2 * 1 = 6 manieren sorteren;
4 dingen kun je op 4 * 3 * 2 * 1 = 24 manieren sorteren.
Later kreeg je daar een handigheidje voor aangeleerd. Die reeks vermenigvuldigingen (4 * 3 * 2 * 1) werd faculteit genoemd. En dat schreef je als een uitroepteken:
4! = 24
En dat was weer makkelijk, want je rekenmachine had ook zo'n uitroepteken. Dan kon je ook 80! uitrekenen.
En toen maakten ze het moeilijker. Want we gingen er even van uit, dat de te sorteren dingen allemaal anders waren. Wat gebeurt er als er duplicaten tussen zitten? Dan maakt het niet meer uit hoe je ze sorteert.
1 ding kun je op 1 manier sorteren;
2 dezelfde dingen kun je op 1 manier sorteren;
3 dezelfde dingen kun je op 1 manier sorteren;
4 dezelfde dingen kun je op 1 manier sorteren.
Daar kreeg je een nieuw woord bijgeleerd: combinatie. De volgorde van de dingen maakte niet meer uit. Die andere reeks, waarbij de volgorde wel uitmaakte, heette opeens permutatie.
Maar wat doe je, als er in een groep dingen zowel duplicaten als unieken zitten? Op hoeveel manieren sorteer je een reeks van vijf grijze volvo's, drie zwarte audi's, 1 blauwe fiat en 1 rode eend? Je hebt in totaal 5 + 3 + 1 + 1 = 10 auto's. Normaal zou je stellen dat je dat op 10! = 3628800 manieren kunt sorteren. Maar je weet dat er duplicaten in de reeks zitten en verwacht eigenlijk niet meer dan 10 sorteringen.
We gaan eerst de duplicaten vaststellen.
Je hebt twee series duplicaten. Te weten 5 grijze volvo's, en 3 zwarte audi's. Het maakt niet uit hoe deze auto's worden gesorteerd - mits ze naast elkaar staan. Als ze altijd naast elkaar stonden had je te maken maken met vier dingen: een groep volvo's, een groep audi's, een fiat en een eend. En dan had je 4! = 24 sorteringen. Maar ze staan niet altijd naast elkaar, dus we moeten berekenen hoeveel sorteringen we teveel hebben. Dat konden we al:
Vijf grijze volvo's laten zich sorteren op 5! manieren, oftewel 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 manieren;
Drie zwarte audi's laten zich sorteren op 3! manieren, oftewel 3 * 2 * 1 = 6 manieren.
Vervolgens moeten we de duplicaten verwijderen.
Dat doen we door het totale mogelijke aantal te delen door de duplicaten, oftewel:
10! / (5! * 3!) = 362880 / (120 * 6) = 362880 / 720 = 5040.
1 ding kun je op 1 manier sorteren;
2 dingen kun je op 2 * 1 = 2 manieren sorteren;
3 dingen kun je op 3 * 2 * 1 = 6 manieren sorteren;
4 dingen kun je op 4 * 3 * 2 * 1 = 24 manieren sorteren.
Later kreeg je daar een handigheidje voor aangeleerd. Die reeks vermenigvuldigingen (4 * 3 * 2 * 1) werd faculteit genoemd. En dat schreef je als een uitroepteken:
4! = 24
En dat was weer makkelijk, want je rekenmachine had ook zo'n uitroepteken. Dan kon je ook 80! uitrekenen.
En toen maakten ze het moeilijker. Want we gingen er even van uit, dat de te sorteren dingen allemaal anders waren. Wat gebeurt er als er duplicaten tussen zitten? Dan maakt het niet meer uit hoe je ze sorteert.
1 ding kun je op 1 manier sorteren;
2 dezelfde dingen kun je op 1 manier sorteren;
3 dezelfde dingen kun je op 1 manier sorteren;
4 dezelfde dingen kun je op 1 manier sorteren.
Daar kreeg je een nieuw woord bijgeleerd: combinatie. De volgorde van de dingen maakte niet meer uit. Die andere reeks, waarbij de volgorde wel uitmaakte, heette opeens permutatie.
Maar wat doe je, als er in een groep dingen zowel duplicaten als unieken zitten? Op hoeveel manieren sorteer je een reeks van vijf grijze volvo's, drie zwarte audi's, 1 blauwe fiat en 1 rode eend? Je hebt in totaal 5 + 3 + 1 + 1 = 10 auto's. Normaal zou je stellen dat je dat op 10! = 3628800 manieren kunt sorteren. Maar je weet dat er duplicaten in de reeks zitten en verwacht eigenlijk niet meer dan 10 sorteringen.
We gaan eerst de duplicaten vaststellen.
Je hebt twee series duplicaten. Te weten 5 grijze volvo's, en 3 zwarte audi's. Het maakt niet uit hoe deze auto's worden gesorteerd - mits ze naast elkaar staan. Als ze altijd naast elkaar stonden had je te maken maken met vier dingen: een groep volvo's, een groep audi's, een fiat en een eend. En dan had je 4! = 24 sorteringen. Maar ze staan niet altijd naast elkaar, dus we moeten berekenen hoeveel sorteringen we teveel hebben. Dat konden we al:
Vijf grijze volvo's laten zich sorteren op 5! manieren, oftewel 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 manieren;
Drie zwarte audi's laten zich sorteren op 3! manieren, oftewel 3 * 2 * 1 = 6 manieren.
Vervolgens moeten we de duplicaten verwijderen.
Dat doen we door het totale mogelijke aantal te delen door de duplicaten, oftewel:
10! / (5! * 3!) = 362880 / (120 * 6) = 362880 / 720 = 5040.
