Achtergrond: het waarom van de volume- / inhouds- en oppervlaktefuncties - ΩJr. Wiskunde en Bijles
Deze informatie leeft op een webpagina op hetvolgende webadres: 'https://omegajunior.globat.com/wiskunde/'.
Hoensbroek, 2001-02-26
Een van mijn wiskundeleerlingen moest het volume / de inhoud berekenen van een bol. Daarvoor kreeg zij de volgende functie:
Inhoud = (4/3)(π * r³)
(Hierbij is r de straal oftewel de halve breedte van de bol.)
Ik had de grootste moeite uit te leggen hoe die formule te combineren was met de rest van de opgave. Er moest namelijk uitgerekend worden wat de inhoud van een bol was, op basis van een kubus, die precies om de bol heen past. Van die kubus was de inhoud bekend.
Dit zette mij aan het denken. Waarom zou ik, als ik de inhoud van de kubus ken, terug moeten rekenen naar de straal van de bol? En toen viel mij iets op. We doen dit niet alleen bij de inhoud van een bol, maar ook bij de inhoud van een cylinder, de inhoud van een kegel, en bij de oppervlakte van een cirkel. We rekenen normaal eerst terug naar de straal van de cirkel, en gaan daarvandaan verder.
Dat leek mij veel te omslachtig, dus ben ik gaan rekenen. Het blijkt zonder moeilijke, lange omweg mogelijk, om van de inhoud van de kubus naar de inhoud van de bol te geraken: vermenigvuldig met π, deel door 6. Nu moet ik alleen nog aan mijn leerlingen zien uit te leggen waarom het getal π ook gebruikt wordt voor ellipsen...
18 juni 2006: Eén van de uitwerkingen bleek incorrect. De uitkomst was juist, maar de weg ernaartoe niet. Dat is nu gecorrigeerd, met dank aan Obaldius.
Dit zette mij aan het denken. Waarom zou ik, als ik de inhoud van de kubus ken, terug moeten rekenen naar de straal van de bol? En toen viel mij iets op. We doen dit niet alleen bij de inhoud van een bol, maar ook bij de inhoud van een cylinder, de inhoud van een kegel, en bij de oppervlakte van een cirkel. We rekenen normaal eerst terug naar de straal van de cirkel, en gaan daarvandaan verder.
Dat leek mij veel te omslachtig, dus ben ik gaan rekenen. Het blijkt zonder moeilijke, lange omweg mogelijk, om van de inhoud van de kubus naar de inhoud van de bol te geraken: vermenigvuldig met π, deel door 6. Nu moet ik alleen nog aan mijn leerlingen zien uit te leggen waarom het getal π ook gebruikt wordt voor ellipsen...
18 juni 2006: Eén van de uitwerkingen bleek incorrect. De uitkomst was juist, maar de weg ernaartoe niet. Dat is nu gecorrigeerd, met dank aan Obaldius.
